Cálculo diferencial de MATLAB

MATLAB ofrece varios métodos para resolver problemas de diferenciación e integración, resolver ecuaciones diferenciales de cualquier grado y calcular límites. Lo más importante es que puede resolver fácilmente el gráfico de funciones complejas y verificar los puntos máximos, mínimos y otros puntos importantes en el gráfico mediante la resolución de la función original y sus derivadas.

Este capítulo discutirá problemas de cálculo diferencial e integral. En este capítulo, discutiremos el concepto de pre-cálculo, es decir, calcular los límites de las funciones y verificar las propiedades de los límites.

En el siguiente capítulo,微分, calcularemos el derivado de una expresión y encontraremos los valores locales máximos y mínimos del gráfico. También discutiremos la resolución de ecuaciones diferenciales.

Finalmente, en el capítulo siguiente, "IntegraciónEn el capítulo, discutiremos la álgebra de integración.

calcular límites

MATLAB proporcionalimitLa función para calcular límites.limitLas funciones toman la expresión como parámetro en su forma más básica y encuentran el límite de la expresión cuando el variable se convierte en cero.

Por ejemplo, vamos a calcular el límite de la función f(x) = (x ³ + 5)/(x ⁴ + 7)), porque x tiende a cero.

syms x
limit((x^3　+　5)/(x^4　+　7))

MATLAB ejecutará la instrucción anterior y devolverá el siguiente resultado-

ans =
　　　5/7

Las funciones de límite pertenecen al dominio del cálculo simbólico. Necesita usarsymsla función para decirle a MATLAB qué variables simbólicas está utilizando. También puede calcular el límite de la función porque la variable tiende a algún número diferente de cero. Para calcular lim _{x-> a}((f(x)), usamos la orden limit con parámetros. El primero es la expresión, el segundo esxaproximaciones numéricas, aquí estána.

Por ejemplo, vamos a calcular el límite de la función f(x) = (x-3)/(x-1) porque x tiende a1.

limit((x　-　3)/(x-1,1)

MATLAB ejecutará la instrucción anterior y devolverá el siguiente resultado-

ans =
　　　NaN

Vamos a dar otro ejemplo

limit(x^2　+　5,　3)

MATLAB ejecutará la instrucción anterior y devolverá el siguiente resultado-

ans =
　　　14

Calcular límites utilizando Octave

A continuación se muestra el uso desymbolicLa versión de Octave del ejemplo anterior del paquete, intenta ejecutarlo y comparar los resultados-

pkg load symbolic
symbols
x = sym("x");
subs((x^3+5)/(x^4+7), x, 0)

Octave ejecutará la instrucción anterior y devolverá el siguiente resultado-

ans =
　　　0.7142857142857142857

Verificación de las propiedades básicas de los límites

El teorema de límites algebraicos proporciona algunas propiedades básicas de los límites. Estas son-

Vamos a ver dos funciones-

• f(x) = (3x + 5)/(x-3)

• g(x) = x ² +1.

Vamos a calcular los límites de dos funciones cuando x tiende a5para calcular las límites de las funciones y utilizar estas dos funciones para verificar las propiedades básicas de los límites con MATLAB.

Ejemplo

Cree un archivo de script y escriba el siguiente código-

syms x
f = (3*x　+　5)/(x-3]);
g = x^2　+　1;
l1　= limit(f,　4)
l2　= limit (g,　4)
lAdd = limit(f　+　g,　4)
lSub = limit(f　-　g,　4)
lMult = limit(f*g,　4)
lDiv = limit (f/g,　4)

Al ejecutar el archivo, muestra-

l1　=
　　　17
　　
l2　=
　　　17
　　
lAdd　=
　　　34
　
lSub　=
　　　0
　　
lMult　=
　　　289
　　
lDiv　=
　　　1

Para verificar las propiedades básicas de los límites utilizando Octave

A continuación se muestra el uso desymbolicLa versión de Octave del ejemplo anterior del paquete, intenta ejecutarlo y comparar los resultados-

pkg load symbolic
symbols
x = sym("x");
f = (3*x　+　5)/(x-3]);
g = x^2　+　1;
l1　= subs(f, x,　4)
l2　= subs (g, x,　4)
lAdd = subs (f+g, x,　4)
lSub = subs (f-g, x,　4)
lMult = subs (f*g, x,　4)
lDiv = subs (f/g, x,　4)

Octave ejecutará la instrucción anterior y devolverá el siguiente resultado-

l1　=
　　　17.0
l2　=
　　　17.0
lAdd　=
　　　34.0
lSub　=
　　　0.0
lMult　=
　　　289.0
lDiv　=
　　　1.0

Límites de izquierda y derecha

Cuando una función tiene discontinuidad para un valor específico de la variable, en este caso no existe límite. En otras palabras, el límite de la función f(x) en x = a tiene discontinuidad porque cuando el valor de x se acerca a x desde la izquierda, el valor del límite no es igual al valor del límite cuando x se acerca a x desde la derecha.

Esto da lugar al concepto de límite de mano izquierda y mano derecha. El límite de mano izquierda se define como el límite desde la izquierda de x, es decir, x-> a, es decir, cuando x se acerca a a, los valores de x <a. El límite de mano derecha se define comenzando desde la derecha x-> La极限 de a, es decir, para los valores de x> a, x se acerca a a. Cuando los límites de mano izquierda y mano derecha no son iguales, el límite no existe.

Veamos una función-

f(x) = (x - 3)/|x - 3|

Mostraremos lim _{x-> 3} f(x) no existe. MATLAB nos ayuda a establecer este hecho de dos formas-

• Al dibujar el gráfico de la función y mostrar la discontinuidad.

• Al calcular los límites y mostrar que son diferentes.

Los límites de mano izquierda y mano derecha se calculan pasando las cadenas de caracteres 'left' y 'right' como el último parámetro de la orden limit.

Ejemplo

Cree un archivo de script y escriba el siguiente código-

f　=　(x　-　3)/abs(x-3]);
ezplot(f,[-1,5])
l　=　limit(f,x,3,'left')
r　=　limit(f,x,3,'right')

MATLAB dibuja el siguiente gráfico al ejecutar el archivo

Mostrar salida después de ejecutar el archivo-

l　=　limit(f,x,
　　　-1
　　
r　=　limit(f,x,
　　　1